Persamaan linear serentak dengan contoh mudah

Abu membeli 2 pasang baju kurung dan sepasang baju Melayu dan membayar RM 240. Keesokan harinya Ali membeli 2 pasang baju kurung dan 2 pasang baju Melayu dan membayar RM 300. Berapakah harga sepasang baju kurung dan sepasang baju Melayu?

Pertama kita harus kumpul maklumat-maklumat iatu pembelian Abu dan Amir.

Abu beli : 2 pasang baju kurung, 1 baju Melayu = RM 240

Ali beli :  2 pasang baju kurung, 2 baju Melayu = RM300

Pemerhatian: Ali bayar lebih kerana mempunyai lebih satu baju Melayu berbanding Abu. 

Untuk kes ini kita ringkaskan  dahulu menggunakan pembolehubah \(k\) untuk baju kurung dan \(m\) untuk baju Melayu dimana ungkapannya;

\[2k+m= 240\]

\[2k+2m=300\]

Lihat bagaimana persamaan ini kita dapati yang kedua berbeza daripada yang pertama. Kenapa berbeza?Sebab yang kedua ada lebih satu baju Melayu!

Jadi harus mencari beza dimana yang baju Melayu  terlebih tersebut.

\[(2k + m)- (2k+2m) = -m\]

 \[-m=240-300\]

\[m= 60\] 

kenapa \(m\) jadi 60 bukannya \(k\)? sebabnya ungkapan pertama terdapat satu pasang, ungkapan 2 ada 2 pasang dan bayaran lebih itulah harga sepasang baju Melayu.

Sekarang kita sudah  mendapatkan nilai \(m\)yang memudahkan pencarian nilai k dimana kita masukkan nilai \(m\) dalam ungkapan 1 dimana;

\[2k+60=240\]<--- jadi disini kita akan seimbangkan.

\[2k= 240-60\]

\[2k= \frac {180}{2}\]

\[k= 90\]

Maka, 1 pasang baju Melayu RM 60, 1 pasang baju kurung RM90.

Menariknya penggunaan huruf sebagai pembolehubah mungkin menyebabkan pelajar mengalami kesukaran , jika kita gunakan emoji sebagai pembolehubah, majoriti boleh meneka harga sepasang baju melayu dan baju kurung.

🟢🟢+ 🔴=240

🟢🟢+🔴🔴=300

Baca lanjut..

Menilai pulangan pasaran saham

Antara formula yang sering dipakai pelabur runcit pasaran saham untuk modal sekali pusing (maksudnya Azmir masukkan sekali tanpa pusingan modal lagi) adalah:

\[ A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt} \]

Yang mana katakan Azmir menyimpan RM14,000 berapakah jumlah pulangan Azmir selepas 20 tahun jika kadar faedah berjumlah 8% setahun?

Langkah: \[ RM14,000(1 + \frac{0.08}{1})^{1 \times 20} \] \[= RM14,000(1.08)^{20} \]\[= RM14,000(4.66) \]\[\approx RM65,240 \]

---

Bagaimana sekiranya Azmir mulai menyimpan RM 720 setahun sepanjang 35 tahun dengan kadar faedah 8% setahun?

Sekarang model yang dicadangkan ialah formula Annuity;

\[ FV = PMT \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} \]

Langkah:
 \[ RM7200 \cdot \frac{(1+0.08)^{35} - 1}{0.08} \]\[ = RM7200 \cdot \frac{14.785 - 1}{0.08} \]\[ = RM7200 \cdot \frac{13.785}{0.08} \]\[ = RM7200 \cdot 172.3125 \]\[ \approx RM1,240,650 \]

Azmir akan beranggapan dia membuat keuntungan adalah RM 988,050.

Walaubagaimanapun, tanggapan Azmir disandarkan kepada;

-Nilai wang tidak berubah-ubah.

-Kadar faedah adalah tetap

-Pasaran stabil

Yang boleh dikembangkan apabila Azmir mengabaikan bahawa kadar inflasi dianggarkan 2-3% setiap tahun selama 35 tahun tersebut, manakala kadar inflasi setiap industri yang mungkin lebih tinggi. Tambahan, kadar faedah setiap tahun sangat linear digunakan dalam model ini.

Persoalannya, adakah jumlah selepas 35 tahun iaitu RM 1.24 juta tersebut sebuah kejayaan? 

Tetapi terdapat beberapa faktor diabaikan dalam formula Annuity dan faedah kompaun antaranya kos pengurusan memandangkan broker mahupun ejen akan menolak kos pengurusan dan menolak beberapa peratusan dengan andaian 3% setahun dan kos pengurusan yang kita akan tolak 3.5% daripada kadar faedah 8%

Maka,

 \[ RM7200 \cdot \frac{(1+0.045)^{35} - 1}{0.045} \]\[ RM7200 \cdot \frac{(1.045)^{35} - 1}{0.045} \]\[ RM7200 \cdot \frac{(3.667}{0.045} \]\[\approx RM 586,775.65\]

Akan tetapi input volatility \[\sigma\] diabaikan yang membolehkan bahawa kadar pulangan bukan seperti dalam model linear seperti kompaun dan Annuity yang disandarkan kepada kalkulus Leibniz-Newton untuk realiti pasaran yang cukup meruap tambahan sebenarnya penulis juga menggunakan model yang sangat linear tetapi inputnya diluaskan kepada kadar inflasi, kos pengurusan, yuran broker sedangkan realiti bukannya linear dan bersifat rawak! 

Bagaimana kuasa beli wang ini selepas 35 tahun? 

\[\frac {RM 586,775.65}{(1+i)^{35}}\] \[= \frac {RM 586,775.65}{(1.02)^{35}}\]\[=\frac {RM 586,775.65}{1.999}\]\[\approx RM 293,404\]

Maksudnya kemungkinan RM 586,775.65 pada 2060 bersamaan RM 293,404 pada 2025.

Inilah keadaan di bursa saham. Sedangkan pelaburan di unit amanah seperti Amanah Saham Nasional mempunyai matlamat berbeza yang akan menghasilkan output yang berbeza. Pengguna perlu ingat bahawa meletakkan modal di bursa saham tidak menjamin kekayaan. 

Baca lanjut..

Kira pensel!

Terdapat banyak bilangan pensel dalam sebuah stor dan anda dikehendaki mengira kesemua pensel yang akan dimasukkan ke dalam kotak dalam kawasan yang sempit dengan cepat dan efisien. 

Terdapat beberapa kaedah iaitu mengasingkan dengan kumpulan setiapnya adalah 10 unit pensel ;

\(Jumlah Pensel = 10 \times bilangan pensel\) 

Jadi \(10\times4 =40\)

Walau bagaimanapun, kawasan sangat sempit untuk menghitung semua kumpulan dan kemudian memasukkan ke dalam kotak memakan masa.

Kemudiannya kita akan memperbaiki dengan model mengira yang serupa. 10 pensel dimasukkan ke dalam kotak A namun setiap 1 dari kumpulan ditolak untuk grouping kecil yg dimasukkan dalam kotak B. Kira 10, tolak 9 masuk A, 1 masuk B dan kotak B adalah wakil.

 Usai penuh kotak kira kotak B. Katakan ada 12 pensel maka darab dengan 10 kemudian kita dapat jumlah keseluruhan dan hitung dengan baki pensel. 

Ataupun;

\(J = 10n + r\)

\(J= 10 \times 15 + 6\)

\(=150+6\)

\(≈ 156\)unit pensel

Dimana jumlah keseluruhan adalah \(10\) didarabkan bilangan dimana \(B=n\), kemudiannya ditambah r iatu baki bukan dalam kumpulan tadi. Masukkan semua kotak b dalam kotak A selepas selesai.

Baca lanjut..

Cara kira mug yang mana paling cepat dan tepat ?

Dalam gambar ni ada beberapa mug yang dimasukkan dalam satu kotak tapi tak tahu tahu berapa total. Susunan mug ada 3 tingkat , tingkat 1 dan 2 rata dengan mug corak A, sedangkan tingkat 3 macam dalam ada 2 mug lain corak B. Soalannya cara apa paling cepat nak kira keseluruhan mug corak A ? 

Apa yang dikira?: Jumlah mug

Apa yang ada: mug

Cara 1:

Kira satu persatu mug, tepat 

...tetapi memakan masa.

Cara 2: 

Kira baris dan lajur, jadi ada 4 baris dan 4 lajur dan 3 tingkat jadi 

4²( 3) 

=16(3)

= 48 

Lebih cepat

...tetapi kurang tepat

Jadi guna cara 1 dan 2 iaitu

48-2

=46 mug corak A, 2 corak mug B.

Tahukah anda, ini adalah contoh algoritma dalam menyelesaikan masalah? Pelbagai individu sedang mencari algoritma terpantas dan efisien untuk menyelesaikan masalah dalam pelbagai bidang baik komputer (tapi paling kerap digunakan ini selain Matematik). Algoritma berasal daripada sebutan payah Al-Khawarizmi yang hari ini melahirkan komputer cukup canggih, cip AI paling efisien dan pantas. 

Baca lanjut..

Kembali ke Sudoku

 Permainan ini juga menarik dan memerlukan sedikit ketelitian! Puzzle ni ada 9X9 kotak setiap kotak kecil ialah 3X3. Undang-undang permainan ni, angka dalam setiap kotak besar hendaklah diisi angka 1-9 tanpa pengulangan dalam kotak, dalam baris, mahupun lajur dan memerlukan memori dan logik serta kesabaran. Anda tak boleh meneka kerana ini bukan teka teki.

Untuk permainan kali ini tiada formula melainkan perlu berfikir logik jika..maka macam yang anda pernah belajar dalam Matematik moden. 

Misalnya dibawah, tempat kosong bawah 4 saya perlu perhatikan baris, lajur, dan angka dalam kotak yang tiada, katakan saya mahu masukkan 3 , tiada 3 dalam lajur,baris dan kotak maka bolehlah saya letakkan 3! Jika angka 3,4,6,1 sudah diisi maka tinggal 2,5,7,8 dan saya akan menyemak dengan teliti satu persatu lajur, baris. Sehinggalah permainan ini tamat! 

Baca lanjut..

Cuba main Menara Hanoi

 Saya beberapa waktu ini mencuba bermain permainan klasik dalam Matematik iaitu Menara Hanoi dimana sangat memerlukan kesabaran, dan ketelitian! Macam mana permainan menara Hanoi ni? Dalam permainan ni, terdapat 3 menara dan tugas pemain adalah menyusun cakera daripada terbesar kepada terkecil, peraturan dalam permainan ini adalah;

Cakera bersaiz besar tidak boleh menimpa cakera bersaiz kecil

Hanya satu pergerakan dibenarkan setiap menara(paling atas)

Cakera ini kita akan pindahkan daripada menara asal ke menara destinasi. 

Menara yang ditengah-tengah tu menara bantuan.

Sepanjang yang saya perhatikan, semakin banyak cakera, semakin banyak pergerakan diperlukan untuk menyusun cakera mengikut urutan jadi memang cakera terbesar kepada terkecil ikut peraturan tadi kata cakera bersaiz besar tidak boleh diletakkan cakera bersaiz kecil. 

Untuk menghitung pergerakan minimum setiap set, boleh kira dengan formula ringkas ni;

\(2^n-1\)

2 nilai malar(tetap), \(n\) itu kira pembolehubah(yg boleh berubah-ubah) jumlah cakera kita kemudian ditolak 1. Lihat macam dibawah.

Jumlah cakera ada tiga jadi=

\(2^3-1\)

\(8-1\)

\(=7\) 

Jadi pergerakan minimum dia adalah \(7\). Tapi kadangkala yang tak ikut pergerakan minimum akan buat sampai siap tak kisah berapa banyak pergerakan dan masa dia! Sampai jadi🗿

Selepas bermain permainan ini, saya menjadi lebih teliti dalam menyelesaikan masalah misalnya melakukan satu persatu tugasan (komponen) dalam bereksperimen dengan serverless computing oleh Cloudflare. Setiap masalah semestinya ada penyelesaiannya jika anda melihat daripada sudut teknikal juga dan memecahkan komponen - komponen kecil untuk mengenalpasti masalah yang sebenarnya, itu berlaku pada semua bidang dan kehidupan seharian juga.

Baca lanjut..